Les Mathématiques au service de la Compression des Images

Pour utiliser les images numériques, il faut comprimer les fichiers dans lesquels elles sont enregistrées. Voici comment on y parvient, sans les dénaturer.

L'image, bien plus que le son, consomme une quantité impressionnante d'octets quand elle est numérisée.

Pour remédier à ces contraintes, il n'y a qu'une solution : comprimer les images. Les chercheurs ont imaginé de nombreuses méthodes de compression, que l'on classe en deux catégories : celles qui se contentent de comprimer les données sans les altérer, et celles qui les compactent en les modifiant. Les premières, dites non destructives, permettent de reconstituer, au bit près, le fichier dans l'état où il était avant la compression (ce qui est indispensable pour du texte).

Quant aux secondes, les méthodes destructives, elles altèrent irrémédiablement les données de départ. Et ce sont elles qui servent presque toujours à comprimer les images (fixes ou aminées) sur les CD-Rom, sur les chaines numériques et sur Internet. Si la perte d'informations due à la compression n'apparaît généralement pas, c'est grâce à certaines caractéristiques de la vision humaine. Elles altèrent davantage les teintes que la luminosité. Notre oeil perçoit en effet plus facilement les grandes masses que les détails, et notre rétine est davantage sensible aux variations de lumière que de couleur.

Pour aller au-delà, il faut altérer les données d'origine. Le moyen économique pour y parvenir consiste à réduire le nombre de couleurs. Pour cela, il suffit de décider qu'une image, au lieu d'être reproduite en 16,8 millions de teintes, ne comportera plus que 256 couleurs. C'est le cas du format Gif. En choisissant judicieusement les 256 teintes de la palette, le résultat est spectaculaire, mais ne suffit pas si l'image doit être agrandie.

La méthode la plus connue est le JPeg qui permet d'obtenir des ratios de compression atteignant les 100:1 ! Dans la pratique, un taux avoisinant le 20:1 produit des images parfaitement exploitables, à l'affichage comme à l'impression.

Le procédé est long et complexe. D'abord l'image RVB est traduite dans une norme propre à la vidéo, qui définit le signal par la luminosité de chaque pixel ainsi que deux composantes associées à la couleur. Puis, elle est sous-échantillonnée ; chaque pixel conserve son information de luminosité, mais tout groupe de quatre pixels (deux horizontaux et deux verticaux) partage les mêmes données liées à la couleur, établies sur une moyenne. L’image est ensuite découpée en bloc de 8 x 8. Pourquoi pas 7 x 7 ou 12 x 12 ? Simplement parce que les expériences menées pour définir le standard JPeg ont montré que la valeur 8 était optimale. Après, tout se complique. On utilise une fonction mathématique, appelée DCT, pour modifier ces valeurs. Pour avoir une idée du procédé, il suffit de savoir que la représentation mathématique ainsi obtenue vise à transformer les variations de luminosité en fréquences. Le résultat est donc une série de soixante-quatre valeurs que l'on va encore simplifier selon le niveau de compression requis. C'est le paramètre que vous ajustez dans les fenêtres de dialogue des logiciels. Avec un taux de compression élevé, on a de nombreuses valeurs nulles dont le codage va être réduit par un algorithme sans perte, le RLE. Enfin, l'ensemble est encore comprimé par un codage de Huffman.

Au total, quatre méthodes de compression ont été employées, ce qui explique qu'une photographie de 20 Mo puisse être réduite à 1 Mo (elle tient alors sur une disquette) tout en conservant un assez bon niveau de qualité.

La compression dite fractale

Des procédés concurrents existent, notamment la compression dite fractale développée par la société Iterated Systems. Elle repose sur la constatation que toute image, avec un degré d'approximation plus ou moins grand, peut être représentée par des portions d'elle-même que l'on modifie (déplacement, rotation, changement de taille ... ). L’algorithme consiste donc à découper une image en secteurs et à identifier ceux à partir desquels on va pouvoir produire les autres. Le fichier est alors composé par ces blocs de référence et par les fonctions mathématiques servant à recalculer le reste. La technique, très lente à la compression, est en revanche rapide à la décompression. Elle permet aussi, quand on agrandit une image, d'éviter tout effet de mosaîque (pixelisation), puisque l'agrandissement ne revient pas à afficher chaque pixel en plus grand, mais à recalculer l'image mathématiquement.

La compression par ondelettes

La compression d'une image fixe est dite spatiale, car elle ne fait pas intervenir le facteur temps.

Pour la vidéo, on utilise aussi, le plus souvent, une compression dite temporelle qui exploite les ressemblances existantes entre une image et les précédentes.

La norme M-JPeg (Motion JPeg), associée aux cartes d'acquisition, comprime le signal pendant l'acquisition grâce à un codec matériel. Ce dernier est une puce ultra puissante qui convertit en JPeg chacune des vingt-cinq images du signal vidéo. Ce format nécessite une trés grande puissance de calcul et donc un équipement approprié mais est très utile en cas de montage numérique, permettant de faire de l’édition sur des images distinctes.

Mais ce standard MJPeg n'est pas utilisé par toute la communauté vidéo.

On peut en dire autant des codecs employés dans le cadre du montage vidéo sur PC ou Mac pour créer un fichier AVI ou QuickTime. Et qu'ils s'appellent Intel Indeo, Radius Cinepak ou Sorenson, ils ne sont pas utilisés pour diffuser des chaînes numériques ou produire des DVD.

Le standard MPeg : voir les différences.

En fait au fil des années, c’est le standard MPeg (Motion picture expert group) qui s'est imposé. Il définit à la fois un format de fichier et la méthode de compression.

La compression MPeg repose sur deux procédés complémentaires. Le premier consiste à considérer certaines images indépendamment des autres ; le second revient à exploiter les informations qui se retrouvent d'une image à l'autre, ce qui se produit souvent en vidéo. Périodiquement, le système enregistre des images complètes codées en jpeg . ce sont les images dites I, qui servent de référence pour analyser les autres images. Pour ces dernières, on détecte et on enregistre seulement les différences qu'elles présentent.

Faute de moyens de stockage d'une capacité suffisante pour un encombrement et un prix réalistes, de nombreuses applications n'auraient pas été possibles sans la compression. Celle-ci a aussi permis d'atteindre les débits nécessaires pour transmettre les images ou la vidéo.

Elle repose sur un mode de compression sans perte devenu un standard nommé CCITT Groupe 3. Ce dernier est adapté aux images ne présentant que des zones blanches ou noires. Ce mode de compression n'est autre que le procédé de Huffman, utilisé après étude statistique sur le contenu des télécopies pour définir la table de codage

Pour réduire le plus possible la taille des pages Web, toutes les images et les photographies qu'elles contiennent sont comprimées. Les formats les plus employés sont le Gif (limité à 256 couleurs avec une compression LZW) ou le JPeg.

En raison de leur capacité relativement faible (2 et 4 Mo à leur sortie, 128 Mo à 320 Mo actuellement), les cartes de mémoire flash des appareils photo numériques ne conviendraient pas au stockage d'images en haute définition, sans la compression. Le format jpeg est majoritairement employé, avec des niveaux de compression modérés (entre 4:1 et 16: 1).

Le format DV(Digital Video)définit un mode de compression spécifique, chaque image étant traitée individuellement selon un procédé proche du JPeg. Cela permet ensuite de faire du montage à l'image près, sans difficulté.

Le DVD utilise le MPeg2 pour stocker plus de deux heures de vidéo sur une couche d'un disque, qui peut en comporter deux sur chaque face. Le niveau de compression est variable, les scènes très animées consommant plus de place que les vues statiques.

Transmettre la vidéo numérique par satellite coûte cher. Pour multiplier le nombre d'émissions diffusées, les opérateurs, grâce au format MPeg2, divisent par dix la quantité des informations à véhiculer. La télévision haute définition, récemment lancée aux États Unis, exploite également le MPeg2.